Арифметические операции над числами, представленными с плавающей запятой

В основе арифметических операций над числами с плавающей запятой лежат принципы, на которых базируются операции над числами с фиксированной запятой. При этом есть и некоторые особенности.

Будем условно считать, что порядки заданы в обратном коде, а мантиссы – в прямом.

Деление

В основном аналогично умножению:

X = 2mx * sign X.x1x2...xn

Y = 2my * sign Y.y1y2...yn

Z = X/Y = 2mx–my * sign Z.z1z2...zn

Порядок выполнения операции следующий:

Находится по известным правилам знак частного.Порядок частного находится как разность порядков делимого и делителя.

Цифры частного находятся так:

вначале находится целая часть мантиссы, то есть |Mx| - |My| =

Если

0, то z0 = 1, если

0 < 0, то z0 = 0.

Дробная часть мантиссы находится так же, как при операциях над числами с фиксированной запятой. Такой порядок действий вытекает из того, что:

|Mx| < 1, ?

|My| < 1, 2-1 < |Mx / My| < 2

То есть, возможно получение ненормализованной мантиссы. Для нормализации мантиссу необходимо сдвинуть вправо на один разряд и, чтобы не уменьшать при этом результат в два раза, нужно прибавить к порядку одну единицу.

При делении, так же, как и при умножении, возможно получение кода машинного нуля и кода бесконечности.

В основном аналогично умножению:

X = 2mx * sign X.x1x2...xn

Y = 2my * sign Y.y1y2...yn

Z = X/Y = 2mx–my * sign Z.z1z2...zn

Порядок выполнения операции следующий:

Цифры частного находятся так:

вначале находится целая часть мантиссы, то есть |Mx| - |My| =

Если

0, то z0 = 1, если

0 < 0, то z0 = 0.

|Mx| < 1, ?

|My| < 1, 2-1 < |Mx / My| < 2

При делении, так же, как и при умножении, возможно получение кода машинного нуля и кода бесконечности.

Деление в дополнительном (обратном) кодах со сдвигом и автоматическим восстановлением остатка

[X]дк,ок; [Y]дк,ок

Деление в ОК не применяется, так как "0" в ОК имеет двойное изображение. В первом такте вместо sign

i-1 берётся sign X, а вместо 2

i-1 берётся [X]дк,ок

Пример:

[X]дк = 1.0111 [Y]дк = 1.0011 Т.к. sign X = sign Y,то

+1.0111 | 1.0011

0.1101 = -[Y]дк

______

0.0100 =

0 = [X]дк + [-[Y]дк ]дк , sign

sign Y, то z0 = 0

0 = +0.1000

Т.к. sign

sign Y, то

1.0011 = [Y]дк

______

1.1011 =

1 = 2

0 + [Y]дк , т.к. sign

1 = sign Y, то z1 = 1

1 = +1.0110

Т.к. sign

1 = sign Y, то

0.1101 = +[-[Y]дк ]дк

______

0.0011 =

2 = 2

1 + [-[Y]дк ]дк , т.к. sign

sign Y, то z2 =0

2 = +0.0110

Т.к. sign

sign Y, то

1.0011 = [Y]дк

______

1.1001 =

3 = 2

3 + [Y]дк , т.к. sign

3 = sign y, то z3 = 1

3 = +1.0010

Т.к. sign

3 = signY, то

0.1101 = +[-[Y]дк ]дк

______

1.1111 =

4 = 2

3 + [-[Y]дк ]дк , т.к. sign

4 = sign Y, то z4 = 1

Ответ: [Z]дк = 0.1011

Это справедливо при 1

[Z]дк = [X]дк / [Y]дк ]| < 1.

Если необходимо определить частное |[Z]дк = [X]дк / [Y]дк | | < 2, то поступают так:

[X]дк*2-1 / [Y]дк = z0z1z2...zn, z0 – знак, z1 – целая часть числа.

Деление в прямом коде со сдвигом делителя и автоматическим восстановлением остатка

sign Z = sign X

sign Y|X| - |Y| =

Если

0, то z0 = 1.

Если

0 < 0, то z0 = 0.

Разрядная сетка (n + d) разрядов, где d = log2n

Пример:

1) [X]пк = 1.1001 2) [Y]пк = 1.1011 n = 4, d = 2

Ответ: [Z]пк = 0.1100

Деление в прямом коде со сдвигом и автоматическим восстановлением остатка

sign Z = sign X

sign Y|X| - |Y| =

Если

0, то z0 = 1 и 2

0 - |Y| =

1 (z0 – целая часть результата).

Если

0 < 0, то z0 = 0 и 2

0 + |Y| =

и т. д.

Пример:

[X]пк = 0.100 [Y]пк = 1.110 sign Z = 1

0 = 1 [-|Y|]дк = 1.010

+0.100 = [|X|]дк

1.010 = [-|Y|]дк

1.110 =

0 = [|X|]дк + [-|Y|]дк < 0, z0 = 0

+1.100 = 2

0 (сдвиг в ДК отрицательного числа)

0.110 = [|Y|]дк

0.010 =

1 = 2

0 + [|Y|]дк > 0, z1 = 1

+0.100 = 2

1.010 = [-|Y|]дк

1.110 =

2 = 2

1 + [-|Y|]дк < 0, z2 = 0

+1.100 = 2

2 (сдвиг в ДК отрицательного числа)

0.110 = [|Y|]дк

0.010 =

3 = 2

2 + [|Y|]дк > 0, z3 = 1

Ответ: [Z]пк = 1.101

Десятичные двоично-кодированные системы.

Иногда в ЭВМ используются десятичные системы счисления. Их выгодно использовать тогда, когда объем исходных данных для обработки на ЭВМ – велик, сама обработка производится по относительно несложным программам. На этом происходит значительная экономия времени, которая вытекает из того, что не нужно делать перевод из десятичной в двоичную систему и обратно.

Как правило, в состав оборудования таких ЭВМ вводится АУ, работающее с числами в десятичной системе счисления. Поскольку в качестве основного запоминающего элемента используется триггер-ячейка с двумя устойчивыми состояниями, то каждая десятичная цифра кодируется совокупностью двоичных символов.

Перевод чисел из десятичной системы в десятичную двоично-кодированную выполняется исключительно просто, поразрядно и одновременно по всей сетке:

879,6510

1000 0111 1001, 0110 010110-2

Аналогично, выполняется и обратный перевод:

0110 1001, 0101 001110-2

69, 5310

Существует большое разнообразие десятичных двоично-кодированных систем. Это многообразие вытекает из избыточности двоичного кода, при котором из 16 возможных комбинаций в каждом разряде используется по прямому информационному назначению лишь 10.

Наиболее широкое применение находят системы кодирования 8421 и 8421+3 (код Штибитца).

Система 8421 – неудобна тем, что при выполнении операции вычитания нет прямого перехода от цифры каждого разряда к дополнительному коду.

0000 - 0

0001 - 1

0010 - 2

0011 - 3

0100 - 4

0101 - 5

0110 - 6

0111 - 7

1000 - 8

1001 - 9

В то же время эта система обладает свойством аддитивности , поскольку результаты операции сложения над числами в десятичной системе и над их изображением в системе 8421 – совпадают.

Система 8421+3 - более интересна, т.к. она обладает свойством самодополнения. Видно, что дополнение до 9 можно получить, применяя операцию поразрядного инвертирования кода.

0011 – 0

0100 – 1

0101 – 2

0110 – 3

0111 – 4

1000 – 5

1001 – 6

1010 – 7

1011 – 8

1100 – 9

Всего существует А1610 = 2,9•1010 вариантов 10-ых двоично-кодированных систем.

Сложение и вычитание

Обе операции выполняются по сходным алгоритмам.

X = 2mx * sign X.x1x2...xn

Y = 2my * sign Y.y1y2...yn

Z = X ± Y = 2max(mx,my).sign Z.z1z2...zn

Операция выполняется следующим образом:

Находится разность порядков: mx – my = ?Производится выравнивание порядков, при этом если разность порядков положительна, то в качестве порядка результата берётся mx, а мантисса My сдвигается вправо на |mx– my| разрядов; еcли разрядность порядков отрицательна, то денормализуется мантисса Mx.Производится алгебраическое суммирование мантисс слагаемых.Выполняется нормализация влево или вправо на соответствующее число разрядов с необходимым исправлением порядка.

Пример:

порядок мантисса [mx]пк = 0.11 [Mx]пк = 0.1010 [my]пк = 0.10 [My]пк = 0.1110 Находим разность порядков: +00.11 = [mx]мок

11.01 = [-my]мок

1| 00.00 |_ _

1 00.01 = [?]мок - разность порядков Так как m x > my, то: +00.1010 = [Mx]мок

00.0111 = [My]мок * 2-1

[Z]мок = 01.0001 – переполнение 2-1 * [Z]мок = 00.1000 – нормализация max(mx,my) = [mx]мок = +00.11 [1]мок = 00.01 [mx]мок = 01.00 – переполнение порядка Z = ?

При выполнении операции сложения возможны следующие специфические случаи, называемые блокировками:

а) При определении разности порядков может оказаться, что необходимо мантиссу одного из чисел сдвигать на величину, большую, чем число разрядов в разрядной сетке. В этом случае, естественно, такое число может быть воспринято как нуль, а операция дальнейшего сложения может блокироваться, то есть не выполняться.

В качестве результата берётся максимальное число.

Пример:

[mx]ок = 0.101 [Mx]ок = 0.10111101 [my]ок = 1.001 [My]ок = 0.10000001

Разность порядков:

+00.101 = [mx]мок

00.110 = [-my]мок

[?]мок = 01.011 – то есть это число 11 10 , а в разрядной сетке мантиссы только 8 разрядов.

Поэтому операция блокируется, а результатом является число:

[mx] = 0.101 [Mx] = 0.10111101

Аналогичный случай может быть, когда разность порядков – отрицательна (отрицательное переполнение). В этом случае операция также блокируется, а результатом будет число с максимальным порядком.

Пример:

[mx]ок = 1.010 [Mx]ок = 1.10101011 [my]ок = 0.110 [My]ок = 1.11111111

Разность порядков:

+ 11.010 = [mx]мок

11.001 = [-my]мок

_______ +1| 10.011 1 _______ 10.100 = [?]мок

То есть разность порядков меньше (-8).

Операция блокируется, а результатом будет число:

[my]ок = 0.110 [My]ок = 1.11111111

Умножение:

X = 2mx * sign X.x1x2...xn

Y = 2my * sign Y.y1y2...yn

Z = X*Y = 2mx+my * sign Z.z1z2...zn

Порядок выполнения операции следующий:

Знак произведения находится так же, как и при умножении чисел с фиксированной запятой:

Порядок произведения находится алгебраическим суммированием порядков множимого и множителя.

Мантисса находится по правилам умножения чисел с фиксированной запятой.

При этом возможны следующие случаи:

Мантисса произведения – ненормализованное число, так как

|Mx| < 1, ?

|My| < 1, то ?

|Mx*My| < 1, при ?

|Mx*My| < ? имеем ненормализованное число.

Поэтому необходима нормализация влево максимум только на один разряд.

С этой целью нужно сдвинуть мантиссу влево на один разряд. Это соответствует умножению числа на 21. Для того чтобы число не увеличилось в два раза, нужно из порядка вычесть единицу.

При умножении двух чисел в силу ограниченности разрядной сетки можно получить число, которое не может быть в ней представлено. Это соответствует получению машинной бесконечности.

В данном случае вырабатывается специальный признак, по которому дальнейшие вычисления прекращаются.

При умножении двух чисел можно получить минимальное число, которое также не может быть представлено в разрядной сетке. Это соответствует случаю, когда получаемое число должно быть интерпретировано как нуль.